1.4 Przykłady w języku Python
W tym rozdziale przedstawiamy przykłady kodu w programie Python, które pozwalają na narysowanie kolejnych przybliżeń Kurzu Cantora, Trójkąta Sierpińskiego i Dywanu Sierpińskiego.
Każdy może opisywane fraktale odtworzyć na własnym komputerze. W tym celu można zainstalować interpreter języka Python. Kody generujące fraktale są krótkie i ich zrozumienie jest możliwe bez wcześniejszej znajomości tego języka, choć oczywiście warto ten język poznać. Kilka informacji, które pomogą w zrozumieniu kodów:
- Poniższe przykłady korzystają z biblioteki
matplotlib
, w której znajdują się funkcje do rysowania, jak np. funkcjaplot()
do rysowania odcinka orazfill()
do rysowania wypełnionych wielokątów, tutaj trójkąta i kwadratu. Funkcjafigure()
tworzy pusty wykres, ashow()
wyświetla go na ekranie. - Bardziej złożone funkcje matematyczne znajdują się w bibliotece
math
. W tych przykładach wykorzystamy ją, aby użyć funkcji pierwiastka kwadratowegosqrt()
. - W bibliotece
numpy
znajdują się funkcje do operacji na wektorach i macierzach. Wykorzystamy ją, by uprościć zapis operacji na dwuelementowych wektorach – współrzędnych punktów. - W wielu miejscach korzystamy z rekurencji, a więc sytuacji, gdy funkcja wywołuje samą siebie. Nowe funkcje definiuje się z użyciem słowa kluczowego
def
. Jednym z argumentów przedstawionych funkcji rekurencyjnych jestdepth
– określa, ile razy funkcja ma się rekurencyjnie wywołać.
1.4.1 Kurz Cantora
Rysowanie kurzu Cantora oprzemy na rekurencyjnej funkcji dust
, która przyjmuje trzy argumenty: x
– miejsce, od którego należy rysować fraktal, scale
– wielkość fraktala oraz depth
– aktualny poziom zagnieżdżenia fraktala.
# Niezbędne biblioteki.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Jeżeli depth=1 to rysujemy odcinek, jeżeli depth>1,
# to rysujemy dwa małe kurze Cantora obok siebie.
def dust(x, scale, depth):
if depth > 1:
/ 3, depth - 1)
dust(x, scale + scale*2/3, scale / 3, depth - 1)
dust(x else:
+scale], [0,0], color = "black")
plt.plot([x, x
# Inicjacja rysunku i narysowanie kurzu o głębokości 5.
plt.figure()0, scale = 1, depth = 5)
dust( plt.show()
![](images/python_20_00.png)
Wynik wykonania powyższych instrukcji
1.4.2 Trójkąt Sierpińskiego
Czas na kultowy trójkąt. Aby go narysować, wykorzystamy rekurencyjną funkcję sierpinski
, która przyjmuje trzy argumenty: x
– miejsce, od którego należy rysować fraktal, scale
– informacje o wielkości fraktala oraz depth
– aktualny poziom zagnieżdżenia fraktala.
# Wczytujemy niezbędne biblioteki.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
# Definiujemy funkcję rysującą trójkąt zaczepiony
# w punkcie x o boku scale.
def triangle(x, scale):
0], x[0]+scale, x[0]+scale/2],
plt.fill([x[1], x[1], x[1]+scale*np.sqrt(3)/2],
[x[= "black")
color
# Rekurencyjna funkcja do rysowania trójkąta Sierpińskiego.
# Jeżeli depth=1, to rysujemy zwykły trójkąt, jeżeli depth>1,
# to rysujemy trzy trójkąty obok siebie.
def sierpinski(x, scale, depth):
if depth > 1:
/2, depth-1)
sierpinski(x, scale/2, 0]),
sierpinski(np.add(x, [scale/2, depth-1)
scale/4,scale*np.sqrt(3)/4]),
sierpinski(np.add(x,[scale/2, depth-1)
scaleelse:
triangle(x, scale)
# Inicjacja rysunku i narysowanie trójkąta o głębokości 4.
plt.figure() 0,0], scale = 1, depth = 4)
sierpinski([ plt.show()
![](images/python_20_01.png)
Wynik wykonania powyższych instrukcji
1.4.3 Dywan Sierpińskiego
Konstrukcja fraktala zaproponowana przez Wacława Sierpińskiego może być powtórzona dla innych kształtów, np. dla kwadratu lub pięciokąta.
Poniżej przykład dla kwadratu z dziurką, czyli dywanu Sierpińskiego.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Rekurencyjna funkcja do rysowania dywanu Sierpińskiego.
# Jeżeli depth=1, to rysujemy kwadrat, używając funkcji square(),
# jeżeli depth>1, to rysujemy osiem fraktali obok siebie.
def square(x, scale):
0], [0, scale, scale, 0]),
plt.fill(np.add(x[1], [0 0, scale,scale]), color="black")
np.add(x[def carpet(x, scale, depth):
if depth > 1:
/3, depth-1)
carpet(x, scale/3,0]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [scale2*scale/3,0]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [0,scale/3]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [2*scale/3,scale/3]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [0,2*scale/3]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [/3,2*scale/3]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [scale2*scale/3,2*scale/3]), scale/3,depth-1)
carpet(np.add(x, [else:
square(x, scale)
plt.figure()0,0], scale = 1, depth = 4)
carpet([ plt.show()
![](images/python_20_02.png)
Wynik wykonania powyższych instrukcji