1.3 Ale dlaczego to działa?
Ładny to twór. Ale jakie ma właściwości? Jakie ma pole?
Szybkie rachunki pozwalają rozwiać wszelkie wątpliwości. W kroku \(k\) trójkąt składa się z \(3^k\) trójkątów, każdy o boku \(1/2^k\), czyli polu \(\sqrt{3}/2^{2k+1}\). Łączne pole tego, co pozostało po kroku \(k\), to \((3/4)^k \cdot \sqrt{3}/2\). W granicy mamy:
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} (3/4)^k \cdot \sqrt{3}/2 = 0. \]
Trójkąt Sierpińskiego jest zatem tak dziurawy, że ma pole równe 0. A jak długi jest jego brzeg? W kroku \(k\) brzeg zwiększa się o \(3^{k-1}\) trójkątów, każdy o boku \((1/2)^k\), czyli obwodzie \(3 \cdot (1/2)^k\). Łączny brzeg w kroku \(k\) to:
\[ \sum_{i=1}^k 3^{k-1} \cdot 3 \cdot (1/2)^k = \sum_{i=1}^k (3/2)^k. \]
Elementy tej sumy rosną do nieskończoności, więc tym bardziej cały brzeg trójkąta eksploduje do nieskończoności:
\[ \lim_{k \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^k (3/2)^k = \infty. \]
Co to za figura? Jest ograniczona, bo mieści się w trójkącie o boku 1, ale ma nieskończony obwód przy zerowym polu. Z jakiego to jest wymiaru?
Prawdopodobnie do tego miejsca część czytelników zadaje sobie pytanie, czym są fraktale. Czy są to takie dziwne obrazki? A jeżeli tak, to jak je scharakteryzować?
Jedną z częściej powtarzanych definicji fraktali jest definicja podana przez Mandelbrota, którą sparafrazuję do:
Definicja (fraktal). Fraktalem nazywamy taki zbiór, którego wymiar fraktalny jest wyższy niż wymiar topologiczny.
Jak się zaraz okaże, często wymiar fraktalny nie musi być liczbą całkowitą, stąd też nazwa fraktal, od francuskiego fractus oraz łacińskiego frangěre – złamać, postrzępić, cząstkowy.
Ale czym jest ten wymiar topologiczny i fraktalny?
1.3.1 Wymiar topologiczny
Gdy myślimy o przestrzeniach euklidesowych, wymiarem określa się liczbę prostopadłych kierunków rozpinających daną przestrzeń. Punkt w związku z tym ma wymiar 0, prosta ma wymiar 1, płaszczyzna ma wymiar 2, a wszyscy doświadczamy trójwymiarowej przestrzeni. Pewne obiekty możemy opisywać w przestrzeniach o wyższych wymiarach i nie ma tu żadnych ograniczeń. Matematyk z podekscytowaniem w głosie może opowiadać o przestrzeni funkcji, która jest nieskończenie wymiarowa.
Podobnie możemy myśleć o wymiarach zbiorów. Intuicyjnie wymiarem zbioru będzie liczba prostopadłych odcinków, które można w tym zbiorze zmieścić. Należy jednak być ostrożnym. Niby wszystko się zgadza, punkt ma wymiar 0, odcinek ma wymiar 1, kwadrat ma wymiar 2, sześcian ma wymiar 3 i tak dalej. Jednak co zrobić z okręgiem? Nie mieści się w nim żaden odcinek. Ale przecież powinien mieć wymiar większy niż 0, bo to taki sklejony odcinek. Więc najlepiej, aby też miał wymiar 1.
Sprawa jest więc trudniejsza. Matematycy głowili się nad nią długo, a formalna definicja wymiaru dla zbiorów jest dosyć młoda. Pierwsza indukcyjna definicja została zaproponowana niecałe 100 lat temu niezależnie przez Pawła Urysona i Karla Mengera (lata 1922–1923). Dzisiaj mamy różnych definicji wymiaru przynajmniej kilka. Zainteresowani znajdą je wraz z wieloma ciekawostkami w artykule Kilka słów o wymiarze [Nowa11].
Na potrzeby dalszego wywodu pozostaniemy przy intuicyjnej definicji – z liczbą prostopadłych odcinków, które można zanurzyć w analizowany zbiór.
1.3.2 Wymiar Minkowskiego, czyli fraktalny wymiar pudełkowy
Definicji wymiaru fraktalnego jest też kilka, ale prawdopodobnie najpopularniejsza jest definicja Minkowskiego, nazywana często wymiarem pudełkowym. Określa się go dla obiektów geometrycznych zanurzonych w zwykłych \(p\)-wymiarowych przestrzeniach (my ograniczymy się praktycznie wyłącznie do \(p=2\)). Aby go wyznaczyć, musimy policzyć iloma \(p\)-wymiarowymi pudełkami o boku \(\varepsilon\) można przykryć interesujący nas obiekt.
Mandelbrot, pisząc o wymiarze fraktalnym, odnosił się do definicji wymiaru Hausdorffa, który jest uogólnieniem wymiaru Minkowskiego. W definicji Hausdorffa zamiast równymi pudełkami możemy analizowany obiekt przykrywać dowolną rodziną zbiorów o średnicach zbiegających do 0.
Jeżeli przez \(N(\varepsilon)\) określimy minimalną liczbę pudełek o boku \(\varepsilon\) pokrywających obiekt \(F\), to wymiarem pudełkowym \(d_F\) tego obiektu jest: \[ d_F = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log 1/\varepsilon}. \]
W ogólności ta granica może nie istnieć. W takich sytuacjach osobno można rozważać kres górny i dolny tego ciągu. Ale dla obiektów przedstawionych w tej książce tak zdefiniowana granica zawsze do czegoś zbiega. Co więcej, nie ma znaczenia, jakiej wielkości pudełka wybieramy. Przykłady pokazuję dla pudełek, które ,,szczelnie’’ zakrywają fragmenty badanej figury, tak by ułatwić sobie obliczenia.
Przyjmijmy na razie, że interesują nas pudełka o boku \(\varepsilon = 2^{-k}\). Jeżeli chcemy przykryć nimi kwadrat o boku \(1\), to potrzebujemy ich przynajmniej \(N(\varepsilon) = 2^k * 2^k = 2^{2k}\). Wymiar pudełkowy kwadratu to zatem:
\[ d_F = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 2^{2k}}{\log 1/2^{-k}} = 2. \]
A co z trójkątem Sierpińskiego? Tutaj wystarczy nam \(N(\varepsilon) = 3^k\) kostek o boku \(2^{-k}\), a więc wymiar pudełkowy dla tego trójkąta to:
\[ d_F = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 3^{k}}{\log 1/2^{-k}} = \frac{\log 3}{\log 2} = 1,5849\ldots \]
Rysunek 3 ilustruje, jak wygląda przykładowe pokrycie trójkąta Sierpińskiego kostkami o boku 1/4 i 1/8.
Rysunek 3: Pokrycie trójkąta Sierpińskiego kostkami o boku 1/4 (lewy panel) i 1/8 (prawy panel)
Jaki jest wymiar kurzu Cantora? Tym razem mamy obiekt zanurzony w przestrzeni jednowymiarowej, więc będziemy go przykrywać odcinkami. Przyjmijmy, że mamy odcinki o długości \(\varepsilon = 3^{-k}\). Aby pokryć cały kurz Cantora wystarczy nam takich odcinków \(N(\varepsilon) = 2^k\), czyli wymiar pudełkowy dla kurzu Cantora:
\[ d_F = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 2^{k}}{\log 1/3^{-k}} = \frac{\log 2}{\log 3} = 0,6309\ldots \]
BK: Niezwykłe jest to, że wymiar zbioru Cantora, którego wszystkie składowe są jednopunktowe (więc ma topologiczny wymiar 0), ma wymiar pudełkowy ostro większy od 0, i w dodatku ułamkowy.
1.3.3 Dywan Sierpińskiego
Wiemy już, czym charakteryzują się fraktale, czas poznać kolejnych przedstawicieli tej niesamowitej rodziny. Bardzo znanym jej reprezentantem jest dywan Sierpińskiego.
Receptura na konstrukcję dywanu Sierpińskiego.
- Weź kwadrat o dowolnej wielkości.
- Podziel ten kwadrat na dziewięć kwadratów.
- Usuń wnętrze środkowego kwadratu, otrzymasz osiem kwadratów o boku 1/3 wyjściowego kwadratu.
- Dla każdego z otrzymanych ośmiu kwadratów kontynuuj dzielenie, idąc do kroku 2.
Ilustracja czterech kolejnych kroków algorytmu wygryzania znajduje się na Rysunku 4.
Rysunek 4: Pierwsze cztery iteracje w konstrukcji dywanu Sierpińskiego
Jaki jest wymiar pudełkowy tego tworu? Weźmy kostki o wielkości \(\varepsilon = 3^{-k}\). Do zakrycia dywanu wystarczy nam \(N(\varepsilon) = 8^k\) pudełek o boku \(3^{-k}\). Tak więc wymiar pudełkowy tego dywanu to:
\[ d_F = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 8^{k}}{\log 1/3^{-k}} = \frac{\log 8}{\log 3} = 1,8927... \]